理科数学全国卷Ⅲ适用地区：云南、广西、贵州、四川

　　2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）

　　理科数学

　　一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

　　1．已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为

　　A．3   B．2     C．1    D．0

　　2．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=

　　A．   B．    C．  D．2

　　3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．学#科&网

　　根据该折线图，下列结论错误的是

　　A．月接待游客量逐月增加

　　B．年接待游客量逐年增加

　　C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份

　　D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

　　4．(+)(2-)5的展开式中33的系数为

　　A．-80                          B．-40                         C．40                          D．80

　　5．已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为

　　A．            B．          C．          D．

　　6．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是

　　A．f(x)的一个周期为−2π                    B．y=f(x)的图像关于直线x=对称

　　C．f(x+π)的一个零点为x=              D．f(x)在(,π)单调递减

　　7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为

　　A.5   B.4   C.3   D.2

　　8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

　　A．                     B．                       C．                  D．

　　9．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为

　　A.-24     B.-3     C.3     D.8

　　10．已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为

　　A．                      B．                       C．                      D．

　　11．已知函数有唯一零点，则a=

　　A．                      B．                          C．                         D．1

　　12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为

　　A．3                           B．2                            C．                       D．2

　　二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

　　13．若，满足约束条件，则的最小值为__________．

　　14．设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．

　　15．设函数则满足的x的取值范围是_________。

　　16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

　　①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

　　②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

　　③直线AB与a所称角的最小值为45°；

　　④直线AB与a所称角的最小值为60°；

　　其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）

　　三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

　　（一）必考题：共60分。

　　17．（12分）

　　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2．

　　（1）求c；

　　（2）设D为BC边上一点，且AD AC,求△ABD的面积．

　　18．（12分）

　　某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

　　以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

　　（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

　　（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

　　19．（12分）

　　如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

　　（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

　　（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．

　　20．（12分）

　　已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.

　　（1）证明：坐标原点O在圆M上；

　　（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程.

　　23.选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

　　已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.

　　（1）求不等式f（x）≥1的解集；

　　（2）若不等式f（x）≥x2–x+m的解集非空，求m的取值范围.